Higher Mathematics
অধ্যায় 4HSC ১ম পত্র • অধ্যায় ৬ ও ৭
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও সংযুক্ত কোণের ফাংশন
পর্ব 2 / 2 • Circular Motion to Sine & Cosine Waves
পর্ব ২: বৃত্তাকার গতি থেকে তরঙ্গের জন্ম
আনুমানিক সময়: 30 মিনিট
মূল ধারণা (Core Concept)
প্রকৃতিতে শব্দ, আলো কিংবা দিকপরিবর্তী তড়িৎ প্রবাহ (AC Current)—সবকিছুই সাইন তরঙ্গ মেনে চলে। একক বৃত্তে একটি বিন্দু সমবেগে ঘুরতে থাকলে সময়ের সাথে তার উচ্চতার (sin θ) লেখচিত্র আঁকলেই তৈরি হয় একটি নিখুঁত সাইন ওয়েভ (Sine Wave)!
মনে রাখার মূল পয়েন্ট:
- sin θ লেখচিত্রটি মূলবিন্দু (0, 0) থেকে শুরু হয়, আর cos θ লেখচিত্রটি সর্বোচ্চ মান (0, 1) থেকে শুরু হয়।
- sin θ এবং cos θ তরঙ্গের মধ্যে দশা পার্থক্য (Phase Difference) হলো ৯০° বা π/2।
- ৩৬০° বা 2π কোণ ঘূর্ণনের পর তরঙ্গটি আবার একই রূপে ফিরে আসে—একেই পর্যায়কাল (Period = 2π) বলে।
ধাপে ধাপে হাতে-কলমে পরীক্ষা (Guided Steps)
ক্লিক করলেই ডানপাশের ল্যাব বদলাবে!ধাপ 1: চলমান তরঙ্গ পর্যবেক্ষণ (Auto-Rotate ON)
বৃত্তের বিন্দুটি ঘোরার সাথে সাথে ডানপাশের গ্রাফে লাল বিন্দুটি কীভাবে উপরে-নিচে উঠে সাইন তরঙ্গ তৈরি করছে তা লক্ষ্য করো।
ধাপ 2: ২য় চতুর্ভাগ (θ = 135°): sin ধনাত্মক, কিন্তু cos ঋণাত্মক!
৯০° পার হয়ে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে গেলে বিন্দুটি এখনো x-অক্ষের ওপরে থাকে (তাই sin θ > 0), কিন্তু y-অক্ষের বামপাশে চলে যাওয়ায় ভুজ cos θ ঋণাত্মক (< 0) হয়ে যায়।
ধাপ 3: ৩য় চতুর্ভাগ (θ = 225°): tan ধনাত্মক কেন?
তৃতীয় চতুর্ভাগে x (cos θ) এবং y (sin θ) উভয়ই ঋণাত্মক। ফলে দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার ভাগফল হওয়ায় tan θ = (-)/(-) = ধনাত্মক (+) হয়!
প্রয়োজনীয় গাণিতিক সূত্র (Formulas)
পর্যায়বৃত্ত ধর্ম (Periodicity)
sin(θ + 2π) = sin θ
প্রতি ৩৬০° বা 2π ঘূর্ণনের পর ফাংশনের মান হুবহু পুনরাবৃত্তি ঘটে।
দশা পার্থক্য (Phase Shift)
cos θ = sin(θ + π/2)
কোসাইন তরঙ্গটি সাইন তরঙ্গের চেয়ে ৯০° বা π/2 কোণে এগিয়ে থাকে।
একক বৃত্ত ও ত্রিকোণমিতিক তরঙ্গ ল্যাব
Unit Circle (r = 1) & Live Wave Projection
১ম চতুর্ভাগ (All +)
একক বৃত্ত (Unit Circle: x² + y² = 1)
তরঙ্গ লেখচিত্র (0° থেকে 360° বা 2π)
কোণ θ (Deg / Rad)
45° (0.79 rad)
sin θ (কোটি y)
0.707
cos θ (ভুজ x)
0.707
tan θ (sin/cos)
1.000
sin²θ + cos²θ
1.00 = 1
কোণ পরিবর্তন করো (Drag Slider: 0° — 360°)45°
আদর্শ কোণ: