Higher Mathematics
অধ্যায় 4HSC ১ম পত্র • অধ্যায় ৬ ও ৭
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও সংযুক্ত কোণের ফাংশন
পর্ব 1 / 2 • Unit Circle, Radian & Coordinate Geometry
পর্ব ১: একক বৃত্ত ও স্থানাঙ্কে ত্রিকোণমিতি
আনুমানিক সময়: 25 মিনিট
মূল ধারণা (Core Concept)
সমকোণী ত্রিভুজের "লম্ব/অতিভুজ" ধারণাকে ৯০° এর চেয়ে বড় যেকোনো কোণের জন্য সম্প্রসারিত করতে গণিতবিদরা ব্যবহার করেন একক বৃত্ত (Unit Circle)—যার ব্যাসার্ধ r = 1। বৃত্তের পরিধির যেকোনো বিন্দু P(x, y)-এর ভুজ x হলো cos θ এবং কোটি y হলো sin θ!
মনে রাখার মূল পয়েন্ট:
- একক বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 1 হওয়ায়, কেন্দ্র থেকে পরিধির যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সরাসরি (cos θ, sin θ)।
- পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী ভুজ² + কোটি² = ব্যাসার্ধ², অর্থাৎ cos²θ + sin²θ = 1।
- ১৮০° কোণ মানে π রেডিয়ান (π ≈ 3.1416 rad)।
ধাপে ধাপে হাতে-কলমে পরীক্ষা (Guided Steps)
ক্লিক করলেই ডানপাশের ল্যাব বদলাবে!ধাপ 1: ৪৫° কোণে সমতা যাচাই (θ = 45° বা π/4)
যখন কোণ ঠিক ৪৫° হয়, তখন সমকোণী ত্রিভুজটির ভূমি (cos θ) এবং লম্ব (sin θ) সমান হয়ে যায়। উভয়ের মানই 1/√2 ≈ 0.707।
💡 ডানপাশের ল্যাবে সবুজ (cos) এবং লাল/গোলাপি (sin) রেখা দুটির দৈর্ঘ্য খেয়াল করো!
ধাপ 2: ৯০° কোণে সর্বোচ্চ উচ্চতা (θ = 90° বা π/2)
বিন্দুটি ঘুরতে ঘুরতে ঠিক মাথার ওপর (৯০°) পৌঁছালে এর আনুভূমিক ছায়া (cos 90°) শূন্য হয়ে যায় এবং উল্লম্ব উচ্চতা (sin 90°) সর্বোচ্চ ১-এ পৌঁছায়।
ধাপ 3: ট্যানজেন্ট (tan θ) ও ঢালের জ্যামিতিক রূপ
tan θ = sin θ / cos θ হলো মূলবিন্দু থেকে বিন্দুটির সংযোগ রেখার ঢাল (Slope) এবং বৃত্তের স্পর্শক রেখার ছেদিতাংশ। ৬০° কোণে tan 60° = √3 ≈ 1.732।
প্রয়োজনীয় গাণিতিক সূত্র (Formulas)
বিন্দুর স্থানাঙ্ক
P(x, y) = (cos θ, sin θ)
একক বৃত্তে x-অক্ষ বরাবর ছায়া হলো cos θ এবং y-অক্ষ বরাবর উচ্চতা হলো sin θ।
মৌলিক অভেদ (Identity)
sin²θ + cos²θ = 1
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ² (যেখানে অতিভুজ = 1)।
ডিগ্রি ও রেডিয়ান সম্পর্ক
θ (rad) = θ° × (π / 180°)
বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য ও ব্যাসার্ধের অনুপাতই রেডিয়ান কোণ।
একক বৃত্ত ও ত্রিকোণমিতিক তরঙ্গ ল্যাব
Unit Circle (r = 1) & Live Wave Projection
১ম চতুর্ভাগ (All +)
একক বৃত্ত (Unit Circle: x² + y² = 1)
তরঙ্গ লেখচিত্র (0° থেকে 360° বা 2π)
কোণ θ (Deg / Rad)
45° (0.79 rad)
sin θ (কোটি y)
0.707
cos θ (ভুজ x)
0.707
tan θ (sin/cos)
1.000
sin²θ + cos²θ
1.00 = 1
কোণ পরিবর্তন করো (Drag Slider: 0° — 360°)45°
আদর্শ কোণ: