Higher Mathematics
অধ্যায় 5HSC ১ম পত্র • অধ্যায় ৯ ও ১০
ক্যালকুলাস: অন্তরীকরণ ও যোগজীকরণ (Calculus Lab)
পর্ব 1 / 2 • Secant to Tangent & Instantaneous Slope
পর্ব ১: অন্তরীকরণ ও স্পর্শকের ঢাল (dy/dx)
আনুমানিক সময়: 25 মিনিট
মূল ধারণা (Core Concept)
সরলরেখার ঢাল সব জায়গায় সমান থাকে, কিন্তু বক্ররেখার ঢাল প্রতি মুহূর্তে বদলায়! দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব Δx (বা h) শূন্যের কাছাকাছি (h → 0) নিয়ে এলে ছেদক রেখাটি (Secant Line) একটি স্পর্শক রেখায় (Tangent Line) পরিণত হয়। এই স্পর্শকের ঢালই হলো অন্তরজ বা Derivative f'(x)!
মনে রাখার মূল পয়েন্ট:
- ছেদকের ঢাল = [f(x + Δx) - f(x)] / Δx হলো গড় পরিবর্তনের হার।
- যখন Δx → 0 হয়, তখন ছেদক রেখাটি স্পর্শকে পরিণত হয় এবং আমরা পাই তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার dy/dx।
- গ্রাফ যেখানে ওপরে উঠছে সেখানে f'(x) > 0, আর যেখানে নিচে নামছে সেখানে f'(x) < 0।
ধাপে ধাপে হাতে-কলমে পরীক্ষা (Guided Steps)
ক্লিক করলেই ডানপাশের ল্যাব বদলাবে!ধাপ 1: ছেদক রেখা (Secant Line) পর্যবেক্ষণ (Δx = 1.5)
প্রথমে Δx = 1.5 অবস্থায় দেখো—ছেদক রেখাটি বক্ররেখাকে দুটি আলাদা বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ঢাল প্রকৃত স্পর্শকের ঢালের চেয়ে আলাদা।
ধাপ 2: সীমা গ্রহণ: Δx → 0 করে স্পর্শকে রূপান্তর!
এখন Δx কমিয়ে 0.05-এ নামিয়ে আনো! দেখবে ছেদক রেখাটি নিখুঁতভাবে বক্ররেখার স্পর্শকের (Tangent) সাথে মিলে গেছে।
ধাপ 3: চরম বিন্দু (Critical Point) যেখানে ঢাল শূন্য (dy/dx = 0)
বক্ররেখার একদম চূড়ায় বা তলানিতে (x = 0) স্পর্শক রেখাটি আনুভূমিক হয়ে যায়, অর্থাৎ ঢাল f'(0) = 0। এভাবেই ক্যালকুলাসে গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় করা হয়!
প্রয়োজনীয় গাণিতিক সূত্র (Formulas)
মূল নিয়মে অন্তরজ (First Principle)
f'(x) = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
ব্যবধান Δx ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র করলে গড় ঢালই তাৎক্ষণিক স্পর্শকের ঢালে পরিণত হয়।
ক্যালকুলাস ল্যাব: অন্তরীকরণ ও যোগজীকরণ
f(x) = 0.5x² + 0.5 • অন্তরজ: f'(x) = x
স্পর্শকের প্রকৃত ঢাল (dy/dx)
0.800
ছেদকের গড় ঢাল (Δy/Δx)
1.400
ব্যবধান (Δx বা h)
1.20
রিমান ক্ষেত্রফল (∫ f(x)dx)
OFF
বিন্দুর অবস্থান (x)x = 0.80
ব্যবধান Δx (0 এর কাছে নাও)Δx = 1.20
রিমান আয়তক্ষেত্র (n = 12)